\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{复变函数第八章解析延拓 - 部分习题}

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\begin{document}

\maketitle

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\begin{enumerate}
    \item 证明函数 $z^{-2}$ 是函数
    \[
    f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(z+1)^n
    \]
    由区域 $|z+1|<1$ 向外的解析延拓.

    \item 证明函数 $\dfrac{1}{1+z^2}$ 是函数
    \[
    f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{2n}
    \]
    由单位圆 $|z|<1$ 向外的解析延拓.

    \item 已给函数
    \[
    f_1(z) = 1 + 2z + (2z)^2 + (2z)^3 + \cdots,
    \]
    证明函数
    \[
    f_2(z) = \frac{1}{1-z} + \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{z^2}{(1-z)^3} + \cdots
    \]
    是函数 $f_1(z)$ 的解析延拓.

    \item 试证
    \[
    f_1(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n i^n z^n
    \]
    及
    \[
    f_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(1+i)^n z^n}{(1-z)^{n+1}}
    \]
    互为直接解析延拓.

    \item 级数
    \[
    -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} z^n
    \]
    与级数
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1}}
    \]
    的收敛区域无公共部分, 试证它们互为(间接)解析延拓.

    \item 已给函数
    \[
    f_1(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n},
    \]
    证明函数
    \[
    f_2(z) = \ln \frac{2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n \frac{\left(z+\frac{1}{2}\right)^n}{n}
    \]
    是函数 $f_1(z)$ 的解析延拓.

    \item 设
    \[
    f(z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots \quad (|z|<1),
    \]
    试证
    \[
    f(a) + f\left(\frac{z-a}{1+a}\right)
    \]
    与 $f(z)$ 互为直接解析延拓 $(|a|<1$ 且 $\operatorname{Im} a \neq 0)$.

    \item 证明
    \[
    f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^{n!} = z + z^2 + z^6 + \cdots + z^{n!} + \cdots
    \]
    以单位圆周 $|z|=1$ 为自然边界.

    \item 假设函数 $f(z)$ 在原点邻域内是解析的, 且满足方程
    \[
    f(2z) = 2f(z) \cdot f'(z),
    \]
    试证 $f(z)$ 可以解析延拓到整个 $z$ 平面上.

    \item 试作出函数 $\sqrt{z(z-1)}$ 的黎曼面.
\end{enumerate}

\end{document}